Die Kernidee der mathematischen Kategorientheorie ist es, beliebige Strukturen als Sammlungen von Objekten und ihren wechselseitigen Beziehungen zueinander zu charakterisieren. Im einfachsten Fall besteht eine Kategorie <formula xmlns="http://www.tei-c.org/ns/1.0"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mi xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">C</mi> </mml:math> </formula> aus einer Klasse von Objekten <formula xmlns="http://www.tei-c.org/ns/1.0"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mi xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">O</mi> <msub xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mml:math> </formula> und einer Menge von Beziehungen, oder Morphismen, <formula xmlns="http://www.tei-c.org/ns/1.0"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mi xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">M</mi> <mi xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">o</mi> <msub xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mml:math> </formula> zwischen je zwei Objekten <formula xmlns="http://www.tei-c.org/ns/1.0"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mi xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">A</mi> <mo xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">,</mo> <mi xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">B</mi> <mo xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" rend="symbol">∈</mo> <mi xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">O</mi> <msub xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mml:math> </formula>. Des Weiteren wird eine individuelle Beziehung als Morphismus <formula xmlns="http://www.tei-c.org/ns/1.0"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mi xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f</mi> <mo xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">∈</mo> <mi xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">M</mi> <mi xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">o</mi> <msub xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mfenced xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" separators="|"> <mrow> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </mfenced> </mml:math> </formula> bezeichnet und das Objekt <formula xmlns="http://www.tei-c.org/ns/1.0"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mi xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">A</mi> </mml:math> </formula> Quelle (oder <hi xmlns="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="italic">domain</hi>) und <formula xmlns="http://www.tei-c.org/ns/1.0"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mi xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">B</mi> </mml:math> </formula> Ziel (oder <hi xmlns="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="italic">codomain</hi>) genannt. Objekte und Morphismen lassen sich nun mithilfe von Pfeilen darstellen <formula xmlns="http://www.tei-c.org/ns/1.0"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mi xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f</mi> <mo xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">:</mo> <mi xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">A</mi> <mo xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">→</mo> <mi xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">B</mi> </mml:math> </formula>. Die Darstellung komplexer Strukturen wird durch Komposition von Morphismen erreichen, d.h. durch Anfügen weiterer Objekte und Pfeile <formula xmlns="http://www.tei-c.org/ns/1.0"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mi xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">A</mi> <mo xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">→</mo> <mi xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">B</mi> <mo xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">→</mo> <mi xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">C</mi> </mml:math> </formula>. Die so konstruierten Verknüpfungen lassen sich diagrammatisch als gerichtete Graphen darstellen.